【线性代数】：第一章

二阶行列式

方程组

$$
\begin{cases}
a_{11}x_1+a_{12}x_2=b_1,\\
a_{21}x_1+a_{22}x_2=b_2.
\end{cases}
$$

相关二阶行列式

$$
D = \left[
\matrix{
a_{11} & a_{12}\\
a_{21} & a_{22}
}
\right]
$$

$$
D_1 = \left[
\matrix{
b_1 & a_{12}\\
b_2 & a_{22}
}
\right]
\quad
D_2 = \left[
\matrix{
a_{11} & b_1\\
a_{21} & b_2
}
\right]
$$

解

$$
x_1 = \frac{D_1}{D} \quad x_2 = \frac{D_2}{D}
$$

三阶行列式

数表

$$
\matrix{
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
}
$$

行列式

$$
\left[
\matrix{
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
}
\right]
$$

计算

$$
\left[
\matrix{
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
}
\right] = a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}.
$$

全排列

把n个不同元素排成一列

$$
P_n = n\cdot(n-1)\cdot \cdots \cdot3\cdot2\cdot1 = n!
$$

P(n)为n个不同元素的所有排列的种数

对于这些不同的排列，先规定一个标准次序:
于是，在这由n个元素组成的任一排列中，当某一对元素的先后次序与标准次序不同时，它就构成了一个逆序。
这个排列中逆序的总数叫做这个排序的逆序数：

• 逆序数为奇数的叫做奇排列
• 逆序数为偶数的叫做偶排列

对换

排列中，将任意两个元素对调，其余元素不变

其中，相邻元素的对换叫相邻对换

定理1

一个排序中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性

n阶行列式的定义

$$
\left[
\matrix
{
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
}
\right]=\sum(-1)^ta_{1p1}a2_{2p2}a_{3p3}
$$

其中，t为p1p2p3的逆序数

总结

$$
\sum(-1)^ta_{1p1}a_{2p2}\cdots a_{npn}
$$

行列式性质

性质1

$$
D = \left[
\matrix
{
a_{11} & a_{12} &\cdots &a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} &\cdots &a_{2n}\\
\vdots &\vdots &\cdots &\vdots\\
a_{n1} & a_{n2} &\cdots &a_{nn}\\
}
\right]
D^T = \left[
\matrix
{
a_{11} & a_{21} &\cdots &a_{n1}\\
a_{12} & a_{22} &\cdots &a_{n2}\\
\vdots &\vdots &\cdots &\vdots\\
a_{1n} & a_{2n} &\cdots &a_{nn}\\
}
\right]
$$

$$
D = D^T
$$

行列式与它的转置行列式相等。

性质2

对换行列式的两行（列），行列式变号。

推论：

如果行列式有两行（列）完全相同，此行列式等于0。

性质3

行列式中的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘以此行列式。

推论：

可以把某一行（列）中所有元素的公因子提取到行列式记号的外面。

性质4

行列式中如果有两行成比例，则此行列式为0。

性质5

$$
D = \left[
\matrix
{
a_{11} & a_{12} & \cdots &a_{1n}\\
\vdots & \vdots & & \vdots\\
a_{i1}+a_{j1} & a_{i2}+a_{j2} & \cdots &a_{in}+a_{jn}\\
\vdots & \vdots & & \vdots\\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
}
\right]
$$

$$
D = \left[
\matrix
{
a_{11} & a_{12} & \cdots &a_{1n}\\
\vdots & \vdots & & \vdots\\
a_{i1} & a_{i2} & \cdots &a_{in}\\
\vdots & \vdots & & \vdots\\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
}
\right]
+
\left[
\matrix
{
a_{11} & a_{12} & \cdots &a_{1n}\\
\vdots & \vdots & & \vdots\\
a_{j1} & a_{j2} & \cdots &a_{jn}\\
\vdots & \vdots & & \vdots\\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
}
\right]
$$

若行列式中的某一行（列）的元素都是两数之和，则可将其拆为两个行列式相加。

性质6

把行列式某一行（列）的各元素乘同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变。

余子式&&代数余子式

在n阶行列式中，把(i,j)元所在的第i行和第j列划去后，留下了的n-1阶行列式叫做(i,j)元 $a_(ij)$的余子式记作$M_(ij)$
$A_(ij)$为代数余子式

$$
A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}.
$$

引理

一个n阶行列式，如果其中第i行的所有元素，除了(i,j)元a(ij)外都为0，那么这行列式等于a(ij)与它的代数余子式的乘积。

$$
D = a_{ij}A_{ij}.
$$

定理2

行列式等于它的任一行列（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和

推论：

行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的。

$$
{D = a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in}\\
D = a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\cdots+a_{nj}A_{nj}
}
$$