【高数上册】：第一章

映射

1. 设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对x的每个元素，按法则f，在Y中有唯一确定的元素，y与之对应，那么称f为从X到Y的映射，记作：

$$
f:X\rightarrow Y
$$

1. 其中，y成为元素x（在映射f下）的像，并记作f(x)，即：

$$
y = f(x)
$$

1. 而元素x称为元素y（在映射f下）的一个原像，集合X称为映射f的定义域，记作$D_f$,即，$D_f = X$，X中所有元素的像所组合成的集合称为映像f的值域，记作$R_f$或$f(x)$，即

$$
R_f = f(x)= \{ f(x)|x\in X \}
$$

2. 概念延伸

   1. 设f是从集合X到集合Y的映射，若$R_f = Y$,即Y中任一元素y都是X中某元素的像，则称f为X到Y上的映射或满射

   2. 若X中任意两个不同元素$x_1 \neq x_2$,它们的像$f(x1) \neq f(x2)$，则称f为从X到Y的单射

   3. 若映射f既是单射，又是满射，则称f为一一映射（双射）

函数的特性

有界性

单调性

单调递增

$$
x_1 < x_2,\rightarrow f(x_1) < f(x_2)
$$

单调递减

$$
x_1 > x_2,\rightarrow f(x_1) > f(x_2)
$$

奇偶性

1. 设函数f(x)的定义域D关于原点对称，如果对任意$x \in D$,有

$$
f(-x) = f(x)
$$

1. 为偶函数

$$
f(-x) = -f(x)
$$

1. 为奇函数

周期性

定义域D，存在一个l，使得任意$ x \in D$，有$(x \pm l)\in D$,且$f(x+l) = f(x)$

初等函数

1. 由基本初等函数和常数经四则运算形成的函数

基本初等函数

1. 幂函数

$$
y = x^\mu(\mu是常数)
$$

2. 指数函数

$$
y = a^x(a>0且a\neq1)
$$

3. 对数函数

$$
y = log_ax(a>0且a\neq1)
$$

4. 三角函数

$$
\begin{split}
&y = sinx \\
&y = cosx \\
&y = tanx
\end{split}
$$

5. 反三角函数

$$
\begin{split}
&y = arcsinx \\
&y = arccosx \\
&y = arctanx
\end{split}
$$

极限

1. 设${x_n}$为一列数列，如果存在常数a,对于任意给定的函数$\epsilon$,总存在正整数N，使得n>N时，不等式成立：

$$
|x_n - a| < \epsilon
$$

1. 那么称常数a是数列${a_n}$的极限，或者称数列${x_n}$收敛于a，认为

$$
\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}x_n = a 或
x_n \rightarrow a (n\rightarrow+\infty)
$$

1. 如果不存在常数a,也就是说数列${a_n}$没有极限，或者说数列${a_n}$是发散的，习惯上说极限不存在

定理1

1. 如果数列$\{x_n\}$收敛，那么它的极限唯一

定理2

1. 如果数列$\{x_n\}$收敛，那么数列$\{x_n\}$一定有界

定理3

1. 如果$\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}x_n = a,且a > 0(a < 0)$,那么存在正整数N，当$n > N$时，都有$ x_n > 0或(x_n < 0)$

推论

1. 如果数列$\{x_n\}$从某项起有$x_n\geq0$或($x_n\leq0$),且$\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}x_n = a$,那么$a \geq 0（或a \leq 0）$.

定理4

1. 如果数列$\{x_n\}$收敛a，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a.

函数的极限